Mathletes: ΡΙΖΕΣ

Σάββατο 31 Δεκεμβρίου 2016

Λυμένη άσκηση ορίων στο άπειρο μαθηματικά γ λυκείου προσανατολισμού

Όρια στο άπειρο:

Να υπολογισθεί το όριο της παρακάτω παράστασης $\lim_{x \rightarrow \ \infty } ( \sqrt[3]{x^3+x^2+1}-x$

Λύση

Το πρώτο μας βήμα είναι να υπολογίσουμε το όριο όταν χ-> $\infty$ μέσα στη ρίζα

Παρατηρούμε ότι ο μεγιστοβάθμιος βαθμός του πολυωνύμου είναι ο 3 οπότε απλοποιείται με τον βαθμό της ρίζας και τελικά έχουμε $\sqrt[3]{x^3}=x$ οπότε $\lim_{x\rightarrow \infty } x= \infty$

Άρα η παράσταση μας γίνεται $\infty - \infty$ που αυτό παράγει απροσδιοριστία.

Θα κάνουμε άρση της απροσδιοριστίας πολλαπλασιάζοντας και διαιρώντας με τον συζυγή της παράστασης του αριθμητή

Έχουμε
$\lim_{x\rightarrow \infty } ( \sqrt[3]{x^3+x^2+1}-x)$

= $\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{( \sqrt[3]{x^3+x^2+1}-x) (( \sqrt[3]{x^3+x^2+1})^2+( \sqrt[3]{x^3+x^2+1}*x)+x^2) }{(( \sqrt[3]{x^3+x^2+1})^2+( \sqrt[3]{x^3+x^2+1}*x)+x^2)}$

= $\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{x^3+x^2+1-x^3 }{(( \sqrt[3]{x^3+x^2+1})^2+( \sqrt[3]{x^3+x^2+1}*x)+x^2)}$

= $\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{x^2(1+ \frac{1}{x^2}) }{x^2(( \sqrt[3]{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^3}})^2+( \sqrt[3]{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^3}+1}$

= $\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{(1+ \frac{1}{x^2}) }{( \sqrt[3]{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^3}})^2+( \sqrt[3]{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^3})+1}$

= $\frac{1}{3}$