Επαναληπτική άσκηση μαθηματικά γ λυκείου στο διαφορικό λογισμό

Εκφώνηση
α)Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση  f: A-->R.
Να γραφούν όλα τα συμπεράσματα που αναφέρονται στην συμπεριφορά της f.
β)Θεωρούμε τις συνεχείς συναρτήσεις f,g :[0,2].Υποθέτουμε ότι g(0)=0 και g(2)=2 και ότι η  g είναι "1-1"
i)Να δειχτεί ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων  αυτών τέμνονται σε ένα  τουλάχιστον σημείο.
ii) Nα προσδιοριστεί η μονοτονία της g.
γ) i)Δίνεται η συνάρτηση  f:R-->R  για την οποία ισχύει:

για κάθε  με .Να δειχτεί  ότι η f είναι συνεχής .
δ) i)Δίνεται η συνάρτηση  g:R-->R  για την οποία ισχύει :

Να δεχτεί ότι η συνάρτηση g αντιστρέφεται και ότι η  είναι συνεχής.
Λύση


α) 1.-Η συνάρτηση f είναι "1-1".
     2.-Η εξίσωση f(x)=0 έχει μία μόνο το πολύ ρίζα στο  Α.
     3.-Ισχύει ότι f(α)=f(β)  <=>  α=β για κάθε α,β,g(A)
     4.-H γραφική παράσταση της f συναντά τον άξονα x'x σε ένα το πολύ σημείο.
     5.-Ορίζεται  ή συνάρτηση 
     6.-Η  f δεν είναι άρτια
     7.-Για κάθε  x,y όπου ανήκει f(A) η εξίσωση y=f(x)  έχει μια μόνο λύση στο σύνολο Α.
β)i Θεωρούμε τη συνάρτηση )h [0,2]-->R με h(χ)=f(χ)-g(χ)     (1)
Η  h είναι συνεχής ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων .Ισχύει ότι :
h(0)=f(0)-g(0)  =f(0)-0=f(0)    (2)
Ισχύει ακόμη ότι   για κάθε χ g[0,2]
Άρα θα είναι και .
Επομένως από την (2) προκύπτει ότι.Είναι ακόμα  h(2)=f(2)-g(2)=f(2)-2≤ 0 
 (διότι 0≤ f(2)≤2).Έτσι έχουμε  h(0)h(2)≤ 0.

Διακρίνουμε τις περιπτώσεις.

Ι) h(0)h(2)<0.Τότε σύμφωνα με το  θεώρημα Bolzano υπάρχει x₀ϵ (0,2) τέτοιο που h(x₀)=0 <=>

f(x₀)-g(x₀)=0 <=>f(x₀)=g(x₀).

Επομένως τα διαγράμματα των δυο συναρτήσεων έχουν κοινό σημείο το (χ₀,f (χ₀))=(χ₀,g(χ₀)).

ΙΙ) h(0) h(2)=0 Διακρίνουμε τις περιπτώσεις.

1)       h(0) =h(2)=0.Τότε όμως είναι f(0) =g(0 ) και f (2)=g( 2)=2,δηλαδή έχουμε δύο τουλάχιστον κινά σημεία τα οποία είναι το (0,0) και (2,2).

2)       h(0)=0 .Τότε είναι   f(0)=g(0)=0 δηλαδή ένα κοινό σημείο είναι το   (0,0)

3)       h(2)=0  .Tότε είναι  f(2)=g(2)=2 δηλαδή ένα κοινό σημείο είναι το (2,2).

ii)Η g:[0,2] àR  είναι συνεχής και έχει σύνολο τιμών το [0,2] και είναι g(0 )=0 ,g( 2)=2, δηλαδή στη μικρότερη τιμή του πεδίου ορισμού αντιστοιχεί η μικρότερη τιμή του πεδίου  τιμών και στην  μεγαλύτερη τιμή  του πεδίου ορισμού αντιστοιχεί η μεγαλύτερη τιμή του πεδίου τιμών.

‘Αρα η g  είναι γνησίως αύξουσα.

γ) ι)Η (1)  για x=y=0  δίνει : f(0)=f ²(0)+f²(0)  ó f(0)=2f ²(0) ó f(0) [2f(0)-1]=0 ≤> f (0)=1/2

Η (1) για y=0 δίνει :

f (χ)=f ²(χ)+f ²(0)   ó f(χ)= f ²(χ)+1/4   ó  [f(χ)-1/2]²=0 ó f (χ)=1/2, για κάθε χ ϵ R

Άρα η f  είναι σταθερή ως σταθερή.

ii) Υποθέτουμε ότι g(χ₁)=g(χ₂ ) .Τότε είναι και g³(χ1  ) =g³(χ2  ) .

Επομένως  g³(χ₁)+ g(χ₁)=g³(χ₂)+ g( χ₂)≤>-χ₁=-χ₂ ≤>χ₁=χ₂.

‘Αρα η f  είναι συνάρτηση   ένα προς ένα  επομένως αντιστρέφεται.

Η (2) για  g(x)=y   δίνει  : y³+y+x=0 ≤> x= -y³-y  ó g^-1(x)=-x³-x. Eπειδή η  g^-1 είναι πολυωνυμική είναι και συνεχής.